Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若a_m，a_m+2，a_m+1（m∈N^*）成等差數(shù)列，試判斷S_m，S_m+2，S_m+1是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：直接利用等差數(shù)關(guān)系，求出公比，然后判斷當(dāng)q=1時，S_m，S_m+2，S_m+1不成等差數(shù)列．當(dāng)時，S_m，S_m+2，S_m+1成等差數(shù)列．
證法1：證明（S_m+S_m+1）-2S_m+2=0即可．證法2：利用等比數(shù)列求出S_m+S_m+1與2S_m+2的值相等即可．
解答：解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公比為q（a₁≠0，q≠0），若a_m，a_m+2，a_m+1成等差數(shù)列，
則2a_m+2=a_m+a_m+1．
∴2a₁q^m+1=a₁q^m-1+a₁q^m．
∵a₁≠0，q≠0，∴2q²-q-1=0．
解得q=1或．
當(dāng)q=1時，∵S_m=ma₁，S_m+1=（m+1）a₁，S_m+2=（m+2）a₁，
∴2S_m+2≠S_m+S_m+1．
∴當(dāng)q=1時，S_m，S_m+2，S_m+1不成等差數(shù)列．
當(dāng)時，S_m，S_m+2，S_m+1成等差數(shù)列．下面給出兩種證明方法．
證法1：∵（S_m+S_m+1）-2S_m+2=（S_m+S_m+a_m+1）-2（S_m+a_m+1+a_m+2）=-a_m+1-2a_m+2=-a_m+1-2a_m+1q==0，
∴2S_m+2=S_m+S_m+1．
∴當(dāng)時，S_m，S_m+2，S_m+1成等差數(shù)列．
證法2：∵，
又==，
∴2S_m+2=S_m+S_m+1．
∴當(dāng)時，S_m，S_m+2，S_m+1成等差數(shù)列．
點評：本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式等基礎(chǔ)知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力