Question

（本小題滿分14分）已知離心率為的橢圓與直線相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），且．點(diǎn)是橢圓上位于直線兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）求四邊形面積的取值范圍．

Answer 1

，（0,4）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知得，則，設(shè)橢圓方程為

由題意可知點(diǎn)在橢圓上，

所以．解得．

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（Ⅱ）由題意可知，直線PA，直線PB的斜率都存在且不等于0．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015060206024961224382/SYS201506020602570676295848_DA/SYS201506020602570676295848_DA.009.png">，所以．

設(shè)直線PA的斜率為k，則直線．

由，得……(1).

依題意，方程（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即根的判別式成立.

即,

化簡得，解得.

因?yàn)?是方程（1）的一個(gè)解，所以．

所以．

當(dāng)方程（1）根的判別式時(shí)，，此時(shí)直線PA與橢圓相切.

由題意，可知直線PB的方程為．

同理，易得．

由于點(diǎn)A,B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，

且能存在四邊形APBQ，則直線PA的斜率k需滿足.

設(shè)四邊形APBQ面積為S，則

由于，故

.

當(dāng)時(shí)，，即，即.

(此處另【解析】
設(shè)，討論函數(shù)在時(shí)的取值范圍.

，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

則當(dāng)時(shí)，，即.)

所以四邊形APBQ面積S的取值范圍是.

考點(diǎn)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與橢圓的位置關(guān)系