Question

已知函數(shù)y=f（x）的周期為2，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=（x-1）²，如果g（x）=f（x）-log₅|x-1|，則函數(shù)y=g（x）的所有零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（　　）

A．2

B．4

C．6

D．8

Answer 1

分析：先根據(jù)函數(shù)的周期性畫(huà)出函數(shù)y=f（x）的圖象，以及y=log₅|x-1|的圖象，結(jié)合圖象可得當(dāng)x＞6時(shí)，y=log₅|x-1|＞1，此時(shí)與函數(shù)y=f（x）無(wú)交點(diǎn)，再根據(jù)y=log₅|x-1|的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，結(jié)合圖象即可判定函數(shù)g（x）=f（x）
-log₅|x-1|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答：解：由題意可得g（x）=f（x）-log₅|x-1|，根據(jù)周期性畫(huà)出函數(shù)f（x）=（x-1）²的圖象
以及y=log₅|x-1|的圖象，
根據(jù)y=log₅|x-1|在（1，+∞）上單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)x=6 時(shí)，log₅|x-1|=1，
∴當(dāng)x＞6時(shí)，y=log₅|x-1|＞1，此時(shí)與函數(shù)
y=f（x）無(wú)交點(diǎn)．
再根據(jù)y=log₅|x-1|的圖象和 f（x）的圖象都關(guān)于直線x=1對(duì)稱，結(jié)合圖象可知有8個(gè)交點(diǎn)，
則函數(shù)g（x）=f（x）-log₅|x-1|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 8，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，求解本題，關(guān)鍵是研究出函數(shù)f（x）性質(zhì)，作出其圖象，將函數(shù)g（x）=f（x）-|log₅x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題是本題中的一個(gè)亮點(diǎn)，此一轉(zhuǎn)化使得本題的求解變得較容易，屬于中檔題．