解:(I)∵f(x)=x,
∴g(x)=λx+sinx,
∵g(x)在[-1,1]上單調(diào)遞減,
∴g'(x)=λ+cosx≤0
∴λ≤-cosx在[-1,1]上恒成立,λ≤-1,故λ的最大值為-1.
(II)由題意[g(x)]
max=g(-1)=-λ-sinl
∴只需-λ-sinl<t
2+λt+1
∴(t+1)λ+t
2+sin+1>0(其中λ≤-1),恒成立,
令h(λ)=(t+1)λ+t
2+sin1+1>0(λ≤-1),
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/126235.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/126236.png)
,而t
2-t+sin1>0恒成立,
∴t<-1
又t=-1時-λ-sinl<t
2+λt+1
故t≤-1(9分)
(Ⅲ)由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/537487.png)
-2ex+m.
令f
1(x)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/537488.png)
-2ex+m,
∵f
1′(x)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6472.png)
,
當x∈(0,e)時,f
1′(x)≥0,
∴f
1(x)在(0,e]上為增函數(shù);
當x∈[e,+∞)時,f
1′(x)≤0,
∴f
1(x)在[e,+∞)為減函數(shù);
當x=e時,[f
1(x)]
max=f
1(e)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/806.png)
,
而f
2(x)=(x-e)
2+m-e
2,
∴當m-e
2>
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/806.png)
,即m>
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/52880.png)
時,方程無解;
當m-e
2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/806.png)
,即m=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/52880.png)
時,方程有一個根;
當m-e
2<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/806.png)
時,m<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/52880.png)
時,方程有兩個根.(14分)
分析:(I)由題意由于f(x)=x,所以函數(shù)g(x)=λf(x)+sinx=λx+sinx,又因為該函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上的減函數(shù),所以可以得到λ的范圍;
(II)由于g(x)<t
2+λt+1在x∈[-1,1]上恒成立?[g(x)]
max=g(-1)=-λ-sinl,解出即可;
(III)利用方程與函數(shù)的關(guān)系可以構(gòu)造成兩函數(shù)圖形的交點個數(shù)加以分析求解.
點評:此題考查了導函數(shù),利用導函數(shù)求解恒成立問題,還考查了方程的根的個數(shù)等價于相應(yīng)的兩函數(shù)的交點的個數(shù),即函數(shù)與方程的解之間的關(guān)系.