Question

設函數(shù)f（x）=-x³+x²+（m²-1）x，（x∈R），其中m＞0
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅱ）已知函數(shù)g（x）=f（x）+有三個互不相同的零點，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=-x³+x²+（m²-1）x，（x∈R），
∴f′（x）=-x²+2x+m²-1．
令f′（x）=0，解得x=1-m，或x=1+m．
因為m＞0，所以1+m＞1-m．
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，1-m）	1-m	（1-m，1+m）	1+m	（1+m，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↓	極小值	↑	極大值	↓

所以f（x）在（-∞，1-m），（1+m，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，在（1-m，1+m）內(nèi)是增函數(shù)．
f（x）在x=1-m處取極小值f（1-m）=-=-．
f（x）在x=1+m處取極大值f（1+m）=-=．
（Ⅱ）∵f（x）=-x³+x²+（m²-1）x，
∴g（x）=f（x）+=-x³+x²+（m²-1）x+，
由（Ⅰ）知：g（x）在（-∞，1-m），（1+m，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，
在（1-m，1+m）內(nèi)是增函數(shù)．
在x=1-m處取極小值，x=1+m處取極大值，
∵函數(shù)g（x）=f（x）+有三個互不相同的零點，且m＞0，
∴，
解得．
分析：（Ⅰ）由已知我們易求出函數(shù)的導函數(shù)，令導函數(shù)值為0，我們則求出導函數(shù)的零點，根據(jù)m＞0，我們可將函數(shù)的定義域分成若干個區(qū)間，分別在每個區(qū)間上討論導函數(shù)的符號，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）根據(jù)題意求出函數(shù)的導數(shù)并且通過導數(shù)求出出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而得到原函數(shù)的極值，因為函數(shù)存在三個不同的零點，所以結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的極大值大于0，極小值小于0，即可單調(diào)答案．
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握利用導數(shù)球函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的極值，并且掌握通過函數(shù)零點個數(shù)進而判斷極值點與0的大小關系．