Question

7．在△ABC中，C=$\frac{2π}{3}$，AB=3，則△ABC的周長為（　�。�

• A． $6sin（{A+\frac{π}{3}}）+3$
• B． $6sin（{A+\frac{π}{6}}）+3$
• C． $2\sqrt{3}sin（{A+\frac{π}{3}}）+3$
• D． $2\sqrt{3}sin（{A+\frac{π}{6}}）+3$

Answer 1

分析 設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，由已知及正弦定理可求BC=2RsinA=2$\sqrt{3}$sinA，AC=2RsinB=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$-A），進而利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡可得周長=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{3}$）+3，即可得解．

解答 解：設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，則2R=$\frac{3}{sin\frac{2π}{3}}$=2$\sqrt{3}$，
所以：BC=2RsinA=2$\sqrt{3}$sinA，AC=2RsinB=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$-A），
所以：△ABC的周長=2$\sqrt{3}$（sinA+sin（$\frac{π}{3}$-A））+3=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{3}$）+3．
故選：C．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．