Question

設f（n）=

n    (n∈N*，n為奇數(shù)) f( n 2 )  (n∈N*，n為偶數(shù))

，a_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ）（n∈N^*）
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）寫出a_n與a_n-1的一個遞推關系式，并求出a_n關于n的表達式；
（3）設數(shù)列{b_n}的通項為b_n=log₂（3a_n-2）-10（n∈N^*），前n項和為S_n．整數(shù)10³是否為數(shù)列{b_n•S_n}中的項：若是，則求出相應的項數(shù)；若不是，則說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由函數(shù)解析式結合數(shù)列通項公式得a₁，a₂，a₃的值；
（2）結合函數(shù)式，由函數(shù)關系得到a_n與a_n-1的一個遞推關系式，并由等比數(shù)列的求和公式求得a_n關于n的表達式；
（3）把a_n代入b_n=log₂（3a_n-2）-10，求出其線n項和，把10³代入{b_n•S_n}的通項驗證得答案．

解答： 解：∵f（n）=

n    (n∈N*，n為奇數(shù)) f( n 2 )  (n∈N*，n為偶數(shù))

，a_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ）
（1）a₁=f（1）+f（2）=f（1）+f（1）=2；
a₂=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=f（1）+f（3）+f（1）+f（2）=1+3+a₁=6；
a₃=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=22；
（2）an-1=f(1)+f(2)+…+f(2n-1)，
a_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ）=f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2ⁿ-1）
+f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2ⁿ）=1+3+5+…+2ⁿ-1+f（1）+f（2）+…+f（2ⁿ-1）
∴an=an-1+4n-1(n≥2)．
∴an=2+4+42+…+4n-1=

4n+2

3

．
（3）∵b_n=log₂（3a_n-2）-10=2n-10，Sn=

n(b1+bn)

2

=n(n-9)．
∴b_nS_n=2n（n-5）（n-9）．
當5≤n≤9時，b_nS_n≤0．
當10≤n≤13時，bnSn≤b13S13=832＜103．
當n≥14時，bnSn≥b14S14=1260＞103．
故10³不是數(shù)列{b_n•S_n}中的項．

點評：本題考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了等差數(shù)列的通項公式和求和公式，考查了學生的邏輯思維能力，是壓軸題．