設(shè)橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)B1為其短軸的一個(gè)端點(diǎn)，滿足，。

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點(diǎn)M 做兩條互相垂直的直線l1、l2設(shè)l1與橢圓交于點(diǎn)A、B，l2與橢圓交于點(diǎn)C、D，求的最小值。

 

【答案】

(1) (2)

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）不妨設(shè) 

所以橢圓方程為 

（Ⅱ）①當(dāng)直線與軸重合時(shí)，

設(shè)，則

②當(dāng)直線不與軸重合時(shí)，設(shè)其方程為，設(shè)

由得 

由與垂直知：

 

   

當(dāng)且僅當(dāng)取到“=”.

綜合①②, 

考點(diǎn)：橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是利用直線與橢圓的方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理以及向量的數(shù)量積公式得到關(guān)系式，結(jié)合不等式加以證明，屬于中檔題。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：河南省兩市(焦作、開封)2010屆高三二模聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題 題型：044

設(shè)橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1(－c，0)和F2(c，0)(c＞0)，且橢圓C與圓x2＋y2＝c2有公共點(diǎn)．

(Ⅰ)求a的取值范圍；

(Ⅱ)若橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為，求橢圓的方程；

(Ⅲ)對(duì)(Ⅱ)中的橢圓C，直線l：y＝kx＋m(k≠0)與C交于不同的兩點(diǎn)M、N，若線段MN的垂直平分線恒過點(diǎn)A(0，－1)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1（-c,0）與F2（c,0）(c＞0),且橢圓上存在點(diǎn)M，使得·=0.

（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）在直線l:y=x+2上存在一點(diǎn)E，使得?|EF1|+|EF2|取得最小值，求此最小值及此時(shí)橢圓的方程；

（3）在條件（2）下的橢圓方程，是否存在斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，滿足=，且使得過點(diǎn)N（0，-1）、Q的直線，有·=0？若存在，求出k的取值范圍，若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年湖南省益陽市高三第一次模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

 設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，若在C上存在一點(diǎn)P,使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，則C的離心率為_____________.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年浙江省高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（12分）橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 ,是橢圓上一點(diǎn)，且滿足。

（1）求離心率e的取值范圍；

（2）當(dāng)離心率e取得最小值時(shí)，點(diǎn)N( 0 , 3 )到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為。

(i)求此時(shí)橢圓C的方程；

(ii)設(shè)斜率為的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A、B，Q為AB的中點(diǎn)，問A、B兩點(diǎn)能否關(guān)于過點(diǎn)P（0，）、Q的直線對(duì)稱？若能，求出的取值范圍；若不能，請(qǐng)說明理由。

 

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