Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x）恒成立；當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x³-4x+3．有下列命題：
①；
②當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)f（x）=x³+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大構(gòu)成一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列；
④關(guān)于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個(gè)不同的根．
其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè)
B．2個(gè)
C．3個(gè)
D．4個(gè)

Answer 1

【答案】分析：①因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，所以；又因?yàn)閷?duì)于任意的x等式f（x+2）=f（x）恒成立，所以
f（）可化為f（），因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025122730313668432/SYS201310251227303136684011_DA/3.png">都在[0，1]上，所以可以比較大小，通過(guò)計(jì)算可得．故可知①正確．
②當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，則-x∈[0，1]，于是f（x）=f（-x）=（-x）³-4（-x）+3=-x³+4x+3≠x³+4x+3．故可知②不正確．
③因?yàn)閒^′（x）=3x²-4，所以當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，可知f（x）在x∈[0，1]上單調(diào)遞減．又因?yàn)閒（0）=3，f（1）=0，所以
f（x）=0在x∈[0，1]時(shí)只有一個(gè)根1；同時(shí)，因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以f（x）在x∈[-1，0]上亦有且只有一個(gè)根-1，又因?yàn)閷?duì)于任意的x等式f（x+2）=f（x）恒成立，所以有f（1）=f（3）=f（5）=…
故f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：1，3，5，…．從而可判斷出③正確．
④由③可知f（x）在x∈[0，1]上單調(diào)遞減，且0≤f（x）≤3，則函數(shù)y=f（x）與y=|x|的圖象在x∈[0，1]上有且只有有一個(gè)交點(diǎn)，即方程f（x）=|x|在x∈[0，1]上有且只有一個(gè)根，設(shè)為x₁．由于函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，所以f（-x₁）=f（x₁）=|-x₁|，即-x₁也是方程f（x）=|x|的一個(gè)根，這就是說(shuō)：方程f（x）=|x|在x∈[-1，1]上有且只有兩個(gè)根x₁，-x₁．同理，方程f（x）=|x|分別在x∈[1，2]、[2，3]上各有一個(gè)根，設(shè)為x₂，x₃；易知，方程f（x）=|x|分別在x∈[-2，-1]、[-3，-2]上亦各有一個(gè)根，且為-x₂，-x₃．在x∈（3，4]上，0＜f（x）≤3，而3＜|x|，故方程f（x）=|x|無(wú)根．綜上可知：方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上共有6個(gè)根．因此④不正確．
解答：解：①∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，∴==；
又∵對(duì)于任意的x等式f（x+2）=f（x）恒成立，
∴f（）=f（6+）=f（）=f（2-）=f（）=f（）==＞f（）．
故可知①正確．
②當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，則-x∈[0，1]，于是f（x）=f（-x）=（-x）³-4（-x）+3=-x³+4x+3≠x³+4x+3．
故可知②不正確．
③因?yàn)閒^′（x）=3x²-4，所以當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，恒有f^′（x）＜0成立，故f（x）在x∈[0，1]時(shí)單調(diào)遞減．
又因?yàn)閒（0）=3，f（1）=0，所以f（x）=0在x∈[0，1]時(shí)有且只有一個(gè)根1；同理f（x）=0在x∈[-1，0]上有且只有一個(gè)根-1．
又因?yàn)閷?duì)于任意的x等式f（x+2）=f（x）恒成立，所以有f（-1）=f（1）=f（3）=f（5）=…；
故f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：1，3，5，…．是由小到大構(gòu)成一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列{2n-1}．
故③正確．
④由③可知f（x）在x∈[0，1]時(shí)單調(diào)遞減，且0≤f（x）≤3，
則函數(shù)y=f（x）與y=|x|的圖象在x∈[0，1]上有且只有有一個(gè)交點(diǎn)，即方程f（x）=|x|在x∈[0，1]上有且只有一個(gè)根，設(shè)為x₁．
由于函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，所以f（-x₁）=f（x₁）=|-x₁|，即-x₁也是方程f（x）=|x|的一個(gè)根．
同理，方程f（x）=|x|分別在x∈[1，2]、[2，3]上各有一個(gè)根，設(shè)為x₂，x₃；易知，方程f（x）=|x|分別在x∈[-2，-1]、[-3，-2]上亦各有一個(gè)根，且為-x₂，-x₃．
在x∈（3，4]上，0＜f（x）≤3，而3＜|x|，故方程f（x）=|x|無(wú)根．
綜上可知：方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上共有6個(gè)根．因此④不正確．
綜上可知①、③正確．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性及方程的根，等差數(shù)列等知識(shí)；還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法．