Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c．
（1）設(shè)f（x）在[-2，2]上的最大值、最小值分別是M、m，集合{x|f（x）=x}={1}，且a≥1，記h（a）=M+m，求h（d）的最小值．
（2）當(dāng)a=2，c=-1時(shí)，
①設(shè)A=[-1，1]，不等式f（x）≤0的解集為C，且C⊆A，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
②設(shè)g（x）=|x-t|-x²-bx（t∈R），求f（x）+g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得方程ax²+bx+c=x存在兩等根x₁=x₂=1，可得 b=1-2a，c=a，由此可得f（x）的解析式，可得 h（a）=M+m=f（-2）+f（1-

1

2a

）=9a-

1

4a

-1，再利用單調(diào)性求出 h（a）的最小值．
（2）①由不等式f（x）≤0的解集為C，且C⊆A，可得

f(-1)≥0 f(1)≥0 -1≤- b 4 ≤1

，由此解得 b的范圍．
②根據(jù)f（x）+g（x）=x²+|x-t|-1，分t＜-

1

2

時(shí)、當(dāng)-

1

2

≤t≤

1

2

時(shí)、t＞

1

2

時(shí)三種情況分別求得f（x）+g（x）的最小值．

解答：解：（1）由題意可得方程ax²+bx+c=x 存在兩等根x₁=x₂=1，可得 b=1-2a，c=a．
∴f（x）=a (x-

2a-1

2a

)2+1-

1

4a

，它的對稱軸為 x=1-

1

2a

∈[

1

2

，1]．
∵x∈[-2，2]，∴h（a）=M+m=f（-2）+f（1-

1

2a

）=9a-

1

4a

-1，
∵a≥1，故函數(shù) h（a）為增函數(shù)，
∴函數(shù) h（a）的最小值為 h（1）=

31

4

．
（2）當(dāng)a=2，c=-1時(shí)，f（x）=2x²+bx-1，①由不等式f（x）≤0的解集為C，且C⊆A，可得

f(-1)≥0 f(1)≥0 -1≤- b 4 ≤1

，解得 b∈[-1，1]．
②f（x）+g（x）=x²+|x-t|-1=

(x+ 1 2 )2-t- 5 4  ， x≥t (x- 1 2 )2+t- 5 4  ， x＜t

．
當(dāng) t＜-

1

2

時(shí)，最小值為-t-

5

4

，
當(dāng)-

1

2

≤t≤

1

2

 時(shí)，最小值為 t²-1，
當(dāng)t＞

1

2

 時(shí)，最小值為t-

5

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，集合間的包含關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．