Question

【題目】已知函數(shù)y=f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）= ，若關(guān)于x的方程[f（x）]2+af（x）﹣a﹣1=0（a∈R）有且只有7個不同實數(shù)根，則a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：由題意，f（x）在（﹣∞，﹣2]和[0，2）上是減函數(shù)，在（﹣2，0]和[2，+∞）上是增函數(shù)；
∴x=0時，函數(shù)取極大值1，x=±2時，取極小值 ，且|x|≥16時，f（x）≥1，則f（x）的圖象如下所示：

由[f（x）]2+af（x）﹣a﹣1=0得[f（x）﹣1][f（x）+a+1]=0；
∴f（x）=1或﹣a﹣1；
∵關(guān)于x的方程[f（x）]2+af（x）﹣a﹣1=0有7個不同實數(shù)根；
∴ ；
∴ ；
∴a的取值范圍為 ．
所以答案是： ．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．