已知定義在區(qū)間[-1,1]上的函數(shù)為奇函數(shù)..
(1)求實數(shù)b的值.
(2)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論.
(3)f(x)在x∈[m,n]上的值域為[m,n](-1≤m<n≤1 ),求m+n的值.
【答案】分析:(1)依題意,由f(0)=0即可求得b的值;
(2)由(1)得b=0,從而求得f(x)的解析式,利用導(dǎo)數(shù)即可判斷其增減性;
(3)利用函數(shù)的單調(diào)性,再結(jié)合題意可求得m,n,從而可得到m+n的值.
解答:解:(1)∵定義在區(qū)間[-1,1]上的函數(shù)f(x)=為奇函數(shù),
∴f(0)=0,即b=0,…(2分)
檢驗:當(dāng)b=0時,f(x)=為奇函數(shù),…(3分)
∴b=0.
(2)函數(shù)f(x)=在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù)…(4分)
證明:∵f(x)=,
∴f′(x)=
=,…(6分)
∵x∈(-1,1),
∴f′(x)>0,…(7分)
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù) …(8分)
(3)由(2)知函數(shù)f(x)在區(qū)間[m,n]上是增函數(shù),函數(shù)f(x)的值域為[f(m),f(n)]
…(9分)
由①得m=-1 或 0或1,
由②得n=-1 或 0或1…(11分)
又∵-1≤m<n≤1
∴m=-1,n=0;或m=-1,n=1;或m=0,n=1…(12)
∴m+n=-1;或m+n=0;或m+n=1…(13)
點評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,判斷出f(x)在(-1,1)上是增函數(shù)是解決問題的關(guān)鍵,對m,n的取值情況的討論是難點,考查綜合分析與運算的能力,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
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已知定義在區(qū)間[-1,1]上的函數(shù)f(x)=
ax+b1+x2
為奇函數(shù),且f(1)=-1.
(1)求實數(shù)a,b的值;
(2)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞減,試解關(guān)于t的不等式f(t-1)+f(t)<0.

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2x+bx2+1
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