如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，Q為AD的中點，PA＝PD＝AD＝2．

(Ⅰ)求證：AD⊥平面PQB；

(Ⅱ)點M在線段PC上，PM＝tPC，試確定t的值，使PA∥平面MQB；

(Ⅲ)若PA∥平面MQB，平面PAD⊥平面ABCD，求二面角MBQ－C的大�。�

答案：
解析：

　　證明：(Ⅰ)連接．

　　因為四邊形為菱形，，

　　所以△為正三角形．又為中點，

　　所以．

　　因為，為的中點，

　　所以．

　　又，

　　所以平面　　4分

　　(Ⅱ)當時，∥平面．

　　下面證明：

　　連接交于，連接．

　　因為∥，

　　所以．

　　因為∥平面，平面，平面平面，

　　所以∥．

　　所以．

　　所以，即．

　　因為，

　　所以．

　　所以，

　　所以∥．

　　又平面，平面，

　　所以∥平面　　9分

　　(Ⅲ)因為，

　　又平面平面，交線為，

　　所以平面．

　　以為坐標原點，分別以所在的直

　　線為軸，

　　建立如圖所示的空間直角坐標系．

　　由＝＝＝2，

　　則有，，．

　　設(shè)平面的法向量為＝，

　　由，

　　且，，

　　可得

　　令得．

　　所以＝為平面的一個法向量．

　　取平面的法向量＝，

　　則，

　　故二面角的大小為60°　　14分


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，且PD=a，PA=PC=
2
a，
（1）求證：PD⊥平面ABCD；（2）求二面角A-PB-D的平面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=
90°，側(cè)面PAD⊥底面ABCD．若PA=AB=BC=
12
AD．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）側(cè)棱PA上是否存在點E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出點E的位置并證明，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AD=BC=2，對角線AC⊥BD于O，∠DAO=60°，且PO⊥平面ABCD，直線PA與底面ABCD所成的角為60°，M為PD上的一點．
（Ⅰ）證明：PD⊥AC；
（Ⅱ）求二面角A-PB-D的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．
（1）證明PB⊥平面EFD；
（2）求二面角C-PB-D的大�。�
（3）求點A到面EBD的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：EF⊥CD；
（3）設(shè)PD=AD=a，求三棱錐B-EFC的體積．

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