Question

2．已知函數(shù)$f（x）=cosx-cos（x+\frac{π}{2}），x∈R$
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值和最小值，以及取得最大值和最小值時(shí)x的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性得出結(jié)論．
（2）利用正弦函數(shù)的最值，求得f（x）的最大值和最小值，以及取得最大值和最小值時(shí)x的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=cosx-cos（x+$\frac{π}{2}$）=cosx+sinx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$ ），
∴f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{1}$=2π．
（2）對(duì)于f（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$ ），當(dāng)x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為$\sqrt{2}$；
當(dāng)x+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，即x=2kπ-$\frac{3π}{4}$，k∈Z時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的周期性，正弦函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．