Question

已知是等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列，，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和。

（1）若（是大于2的正整數(shù)）。求證：；

（2）若（i是某個(gè)正整數(shù)，求證：q是整數(shù)，且數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)。

（3）是否存在這樣的正數(shù)q，使等比數(shù)列中有三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，寫(xiě)出一個(gè)q的值，并加以說(shuō)明，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d

由題意得且

由

∴等式成立

（2）（1）由

即

∴為整數(shù)

（2）設(shè)是數(shù)列中的任一項(xiàng)，只要討論的情形

令

∵  當(dāng)      為或0

則或2

而，否則矛盾  當(dāng)時(shí)，為正整數(shù)，∴k為正整數(shù)

∴數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)

（3）假設(shè)存在成等差數(shù)列，且

∴

  令      且

  令

       ∴   

       ∵   ∴