Question

（本題滿分13分）

在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD＝AA₁＝1，AB＝2，點(diǎn)E的棱AB上移動(dòng)。

（I）證明：D₁EA₁D；

（II）AE等于何值時(shí)，二面角D₁-EC-D的大小為。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）時(shí)，二面角的大小為.

【解析】本小題主要考查向量語言表述線線的垂直、平行關(guān)系、點(diǎn)到平面的距離和二面角的求解等基本知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理、運(yùn)算能力．

（1）建立如圖的坐標(biāo)系，則 DA₁=(1，0，1)，設(shè)E（1，t，0），則D₁E==(1，t，-1)，通過向量的數(shù)量積為0，計(jì)算可得D₁E⊥A₁D；

（2）利用空間直角坐標(biāo)系，表示平面的法向量，然后得到二面角的平面角的大小。

解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則 （2分）

（Ⅰ）  （4分）

（Ⅱ）設(shè)平面的法向量，

∴

由  令，

∴  （8分）

依題意

∴（不合，舍去）， .

∴時(shí)，二面角的大小為.  （13分）