Question

已知一個扇形周長為C（C＞0），當扇形的中心角為多少時，它的面積最大？

Answer 1

考點：扇形面積公式

專題：計算題,三角函數(shù)的求值

分析：利用扇形的周長，求出扇形的半徑，可得扇形的面積，整理成二次方程，利用判別式△=（8S-c²）²-64S²≥0，即可得出結論．

解答： 解：設扇形的半徑為R，圓心角為α，面積為S．
∵扇形的周長c=2R+l=2R+Rα（l為扇形的弧長），
∴R=

c

2+α

．
則S=

1

2

Rl=

1

2

R•Rα=

1

2

R²α=

1

2

•R²α=

1

2

•

c2α

(2+α)2

．
將上式整理可得2Sα²+（8S-c²）α+8S=0．
∵α為實數(shù)，∴方程2Sα²+（8S-c²）α+8S=0的判別式△=（8S-c²）²-64S²≥0．
解得0＜S≤

c2

16

．
當S=

c2

16

時，有

1

2

•

c2α

(2+α)2

=

c2

16

．
則α²-4α+4=0，從而α=2．
故當扇形的圓心角為2rad時，扇形的面積有最大值，最大值為

c2

16

．

點評：本題考查扇形的面積，考查學生的計算能力，比較基礎．