Question

如圖1，△ABC為正三角形，△BCD為等腰直角三角形，∠BCD=90°，將△ABC沿BC邊折疊到△A′BC的位置，使A′B=A′D，E為BD中點(diǎn)，如圖2．
（Ⅰ）求證：A′E⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角B-A′C-D的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）連結(jié)EC，由已知條件推導(dǎo)出A′E⊥BD，A′E⊥EC，由此能夠證明A′E⊥平面BCD．
（Ⅱ）設(shè)BC=2，以ED、EC、EA為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能二面角B-A′C-D的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)EC，∵E是BD的中點(diǎn)，∴A′E⊥BD，
又∵△BCD為等腰直角三角形，△ABC為正三角形，
∴A′E²=AB²-EC²，EC=BE，
∴A′E²=A′B²-EC²=A′C²-EC²，
∴A′E⊥EC，
∴A′E⊥平面BCD．
（Ⅱ）設(shè)BC=2，以ED、EC、EA為x，y，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則B（-

2

，0，0），D（

2

，0，0），C（0，

2

，0），A（0，0，

2

），
∴

CD

=(

2

，-

2

，0)，

CA

=(0，-

2

，

2

)，

BC

=(

2

，

2

，0)，
設(shè)平面A′DC的法向量

n1

=（x，y，z），
則

2 x- 2 y=0 - 2 y+ 2 z=0

，
取x=-2，得

n1

=（-2，-2，-2），
平面A′BC的法向量

n2

=（-2，2，2），
cos＜

n1

，

n2

＞=

4-4-4

12 • 12

=-

1

3

，
∴二面角B-A′C-D的余弦值為-

1

3

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．