Question

【題目】如圖，在正方體中， 分別是棱的中點(diǎn)， 為棱上一點(diǎn)，且異面直線與所成角的余弦值為.

（1）證明： 為的中點(diǎn)；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨令正方體的棱長為2，設(shè)，利用，解得，即可證得；

（2）分別求得平面與平面的法向量，利用求解即可.

試題解析：

（1）證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

不妨令正方體的棱長為2，

則， ， ， ， ，

設(shè)，則， ，

所以 ，

所以，解得（舍去），即為的中點(diǎn).

（2）解：由（1）可得， ，

設(shè)是平面的法向量，

則.令，得.

易得平面的一個法向量為，

所以.

所以所求銳二面角的余弦值為.

點(diǎn)睛：空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】已知橢圓的短軸長為2，且橢圓過點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線過定點(diǎn)，且斜率為，若橢圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍及面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）橢圓的短軸長為，得，再由橢圓上一點(diǎn)列方程求解即可；

（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立得，利用韋達(dá)定理求得線段的中點(diǎn)為，代入直線可得， ，結(jié)合即可求得的取值范圍，再求和原點(diǎn)到直線的距離，通過，利用韋達(dá)定理代入求最值即可.

試題解析：

（1）∵橢圓的短軸長為2，∴，即.

又點(diǎn)在上，∴，∴.

∴橢圓的方程為.

（2）由題意設(shè)直線的方程為，

由，消去得， ，

∴，即，①

且， ，

∴線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，

即線段的中點(diǎn)為.

將代入直線可得， ，②

由①，②可得， ，∴.

又 ，

且原點(diǎn)到直線的距離，

∴ ，

∵，∴，∴當(dāng)時， 取得最大值.