Question

設(shè)滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列a₁，a₂，…，a_n為n（n=2，3，4，…，）階“期待數(shù)列”：
①a₁+a₂+a₃+…+a_n=0；
②|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1．
（Ⅰ）分別寫出一個單調(diào)遞增的3階和4階“期待數(shù)列”；
（Ⅱ）若某2k+1（k∈N^*）階“期待數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）記n階“期待數(shù)列”的前k項(xiàng)和為S_k（k=1，2，3，…，n），試證：
（1）；     
（2）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用新定義直接利用等差數(shù)列，寫出一個單調(diào)遞增的3階和4階“期待數(shù)列”；
（Ⅱ）利用某2k+1（k∈N^*）階“期待數(shù)列”是等差數(shù)列，通過公差為0，大于0．小于0，分別求解該數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）（1）判斷k=n時，，然后證明k＜n時，利用數(shù)列求和以及絕對值三角不等式證明即可；     
（2）通過數(shù)列求和，以及絕對值三角不等式和放縮法，利用裂項(xiàng)法求和，證明．
解答：（本題14分）
解：（Ⅰ）數(shù)列為三階期待數(shù)列…（1分）
數(shù)列為四階期待數(shù)列，…..…..（3分）（其它答案酌情給分）
（Ⅱ）設(shè)等差數(shù)列a₁，a₂，a₃，…，a_2k+1（k≥1）的公差為d，
∵a₁+a₂+a₃+…+a_2k+1=0，
∴，
所以a₁+kd=0，
即a_k+1=0，∴a_k+2=d，…（4分）
當(dāng)d=0時，與期待數(shù)列的條件①②矛盾，…（5分）
當(dāng)d＞0時，據(jù)期待數(shù)列的條件①②得：，
∴，即
由a_k+1=0得 ，即 ，
∴．…（7分）
當(dāng)d＜0時，
同理可得，即，
由a_k+1=0得 ，即
∴．…（8分）
（Ⅲ）（1）當(dāng)k=n時，顯然成立；…（9分）
當(dāng)k＜n時，據(jù)條件①得S_k=a₁+a₂+…+a_k=-（a_k+1+a_k+2+…+a_n），
即|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|=|a_k+1+a_k+2+…+a_n|，
∴2|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|+|a_k+1+a_k+2+…+a_n|
≤|a₁|+|a₂|+…+|a_k|+|a_k+1|+|a_k+2|+…+|a_n|=1，
∴．…（11分）

=
=


=
=．…（14分）
點(diǎn)評：本題考查新數(shù)列新定義的應(yīng)用，數(shù)列求和的方法，放縮法以及絕對值三角不等式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，難度較大，考查計(jì)算能力．