Question

已知a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=（1+ax）e^x，函數(shù)，令函數(shù)F（x）=f（x）•g（x）．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的極小值；
（2）當時，解不等式F（x）＜1；
（3）當a＜0時，求函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（1）a=1代入f（x），對其進行求導(dǎo)，得到極值點，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題；
（2）把a=- 代入f（x）和g（x），從而得到F（x），再代入不等式F（x）＜1進行求解；
（3）求導(dǎo)數(shù)F′（x），在定義域內(nèi)解不等式F′（x）＞0，F(xiàn)^′（x）＜0，分a，a=，-a＜0，三種情況進行討論即可解得，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系即得單調(diào)區(qū)間
解答：（1）由f'（x）=e^x+（1+x）e^x=0得x=-2，
當x＜-2時，f'（x）＜0，f（x）在（-∞，-2）上單調(diào)遞減，
當x＞-2時，f'（x）＞0，f（x）在（-2，+∞）上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）的最小值為f（-2）=-e^-2；
（2）當a=-時F（x）=＜1，即
設(shè)m（x）=，則m（0）=0，＜0
所以m（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-2）和（-2，+∞），
而當x＜-2時，總有成立，
所以不等式F（x）＜1的解集是（-∞，-2）∪（0，+∞）．
（3），定義域為{x|}
則=，令F′（x）=0，得（a＜0）
①當2a+1＜0，即時，F(xiàn)′（x）＜0
則當時，函數(shù)F（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，）和（，+∞）．
②當2a+1=0，即時，由（2）知，函數(shù)F（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-2）和（-2，+∞）．
③當2a+1＞0，即時，解得到，
∵，∴令F′（x）＜0，得到x∈（-∞，），x∈（，），x∈；
令F′（x）＞0，得到x∈（，）．
則當時，函數(shù)F（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，），（，），；
函數(shù)F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（，）．
點評：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性問題，考查分類討論思想，屬中檔題．