Question

如圖，已知：橢圓的中心為，長軸的兩個(gè)端點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，．若橢圓經(jīng)過點(diǎn)，在上的射影為，且△的面積為5．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知圓：=1，直線=1，試證明：當(dāng)點(diǎn)在橢圓上
運(yùn)動時(shí)，直線與圓恒相交；并求直線被圓截得的弦長的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析，弦長的取值范圍為[]

試題分析：（Ⅰ）由題意設(shè)橢圓方程為，半焦距為，
由，且∴ ，得.（1）
由題意，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，在上，代入得 ∴． 由△ABC的面積為5，得，=5.（2）
解（1）（2）得 ∴=9—4=5．
∴所求橢圓的方程為：．                                ……6分
(Ⅱ) 圓到直線=1距離，
由點(diǎn)在橢圓上，則，
顯然，∴1，>1,
∴，
而圓的半徑為1，直線與圓恒相交．                              ……12分
弦長=2=2,由得，
∴, =2,
，∴，，∴ ，
弦長的取值范圍是[]．                                    ……16分
點(diǎn)評：判斷直線與圓的位置關(guān)系，首先要用圓心到直線的距離和半徑比較大小，而不要用代數(shù)法，另外弦長公式運(yùn)算比較復(fù)雜，要仔細(xì)計(jì)算.