Question

已知函數(shù)f（x）=cos²x-

3

sinxcosx+2sin²x-

1

2

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，

π

2

]，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的圖象,y=Asin（ωx+φ）中參數(shù)的物理意義

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角函數(shù)的倍角公式將函數(shù)進行化簡即可求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行求解即可．

解答： 解：（1）∵f(x)=

1+cos2x

2

-

3

2

sin2x+2×

1-cos2x

2

-

1

2

=1-

1

2

cos2x-

3

2

sin2x=1-sin(2x+

π

6

)．
∴其最小正周期為T=

2π

2

=π．
（2）由（Ⅰ）知f(x)=1-sin(2x+

π

6

)，
又∵x∈[0，  

π

2

]，  ∴2x+

π

6

∈[

π

6

，  

7π

6

]，
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，  1]．
∴函數(shù)f（x）的值域為[0，  

3

2

]．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的倍角公式以及輔助角公式將函數(shù)化成y=Asin（ωx+φ）形式再進行解答，是解決本題的關(guān)鍵．