(I)已知數(shù)列,其中
,且數(shù)列
為等比數(shù)列,求常數(shù)
;
(II)設(shè)、
是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列,
,證明數(shù)列
不是等比數(shù)列.
解:(Ⅰ)因?yàn)閧cn+1-pcn}是等比數(shù)列,故有
(cn+1-pcn)2=( cn+2-pcn+1)(cn-pcn-1),
將cn=2n+3n代入上式,得
[2n+1+3n+1-p(2n+3n)]2
=[2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)]?[2n+3n-p(2n-1+3n-1)],
即[(2-p)2n+(3-p)3n]2
=[(2-p)2n+1+(3-p)3n+1][ (2-p)2n-1+(3-p)3n-1],
整理得(2-p)(3-p)?2n?3n=0,
解得p=2或p=3.
(Ⅱ)設(shè){an}、{bn}的公比分別為p、q,p≠q,cn=an+bn.
為證{cn}不是等比數(shù)列只需證≠c1?c3.
事實(shí)上,=(a1p+b1q)2=
p2+
q2+2a1b1pq,
c1?c3=(a1+b1)(a1 p2+b1q2)= p2+
q2+a1b1(p2+q2).
由于p≠q,p2+q2>2pq,又a1、b1不為零,
因此c1?c3,故{cn}不是等比數(shù)列.
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. |
x~(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an) |
. |
2~(-1)(3)(-2)(1) |
. |
2~(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an) |
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