Question

已知數(shù)列{a_n}前n項和S_n=2n²-n
（1）求其通項公式a_n；
（2）若數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，且b_n=

Sn

n+c

（c≠0），求數(shù)列{a_n•2^b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)列的前n項和分類求出a₁和a_n（n≥2），驗證a₁后可得通項公式；
（2）分別求出數(shù)列{b_n}的前3項，由等差中項的概念求出c，代入后利用錯位相減法求數(shù)列{a_n•2^b_n}的前n項和T_n．

解答：解：（1）由S_n=2n²-n
當n=1時，a₁=S₁=1．
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=(2n2-n)-[2(n-1)2-(n-1)]
=4n-3．
n=1時成立．
∴a_n=4n-3；
（2）∵數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，
由b_n=

Sn

n+c

，取n=1得，b1=

1

1+c

．
取n=2得，b2=

S2

2+c

=

6

2+c

．
取n=3得，b3=

S3

3+c

=

15

3+c

．
∴

1

1+c

+

15

3+c

=

12

2+c

，解得c=-

1

2

．
∴b₁=2，公差d=2．
∴b_n=2+2（n-1）=2n．
則a_n•2^b_n=（4n-3）•4ⁿ
∴Tn=1×41+5×42+…+(4n-7)×4n-1+(4n-3)×4n①
4Tn=1×42+5×43+…+(4n-7)×4n+(4n-3)×4n+1②
①-②得：-3Tn=4+4×42+4×43+…+4×4n-(4n-3)×4n+1．
∴Tn=-

4

9

(4n-1)+

4n-3

3

×4n+1．

點評：本題考查了數(shù)列的通項公式，考查了數(shù)列的和，訓練了錯位相減法，是中檔題．