若函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），[f′（α）]2+[f′（β）]2=0，f（α）+f（β）=0（其中α，β∈R且α≠β），則下列選項中一定是方程f（x）=0的根的是（　　）
分析：可判α，β為函數(shù)f（x）的極值點，f（x）的圖象關(guān)于點（0，d）中心對稱，可得兩極值點的中點在函數(shù)f（x）的圖象上，結(jié)合韋達定理可得結(jié)論．
解答：解：∵f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），∴f′（x）=3ax2+2bx+c，
∵[f′（α）]2+[f′（β）]2=0，[f′（α）]2≥0，[f′（β）]2≥0，
∴f′（α）=f′（β）=0，即α，β為一元二次方程f′（x）=3ax2+2bx+c=0的兩根，
即α，β為函數(shù)f（x）的極值點，令g（x）=ax3+bx2+cx，可判g(shù)（x）為奇函數(shù)，
故函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于原點對稱，f（x）可看作g（x）的圖象上下平移得到的，
故f（x）的圖象關(guān)于點（0，d）中心對稱，
故可得兩極值點（α，f（α）），（β，f（β））的中點（
α+β
2
，
f(α)+f(β)
2
）在函數(shù)f（x）的圖象上，
由韋達定理可得α+β=-
2b
3a
，αβ=
c
3a
，故（-
b
3a
，0）在函數(shù)f（x）的圖象上，
故可得f（-
b
3a
）=0．
故選：A．
點評：本題考查函數(shù)的極值點，以及函數(shù)圖象的變換，屬中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

①命題“對任意的x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是“存在x∈R，x3-x2+1＞0”；
②函數(shù)f（x）=2x-x2的零點有2個；
③若函數(shù)f（x）=x2-|x+a|為偶函數(shù)，則實數(shù)a=0；
④函數(shù)y=sinx（x∈[-π，π]）圖象與x軸圍成的圖形的面積是S=
∫
x
-x
sinxdx；
⑤若函數(shù)f（x）=
ax-5(x＞6)
(4-
a
2
)x+4(x≤6)
，在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（1，8）．
其中真命題的序號是
①③
①③
（寫出所有正確命題的編號）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x），其定義域為D，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（
x1+x2
2
）＞
1
2
[f（x1）+f（x2）]，則稱f（x）為定義域上的凸函數(shù)．
（1）設(shè)f（x）=ax2（a＞0），試判斷f（x）是否為其定義域上的凸函數(shù)，并說明原因；
（2）若函數(shù)f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）為其定義域上的凸函數(shù)，試求出實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=ax（a＞0，a≠1）的反函數(shù)記為y=g（x），g（16）=2，則f(
12
)=
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=ax-2+2010（a＞0且a≠1）恒過一定點，此定點坐標(biāo)為
（2，2011）
（2，2011）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•盧灣區(qū)一模）若函數(shù)f（x）=ax+b的零點為x=2，則函數(shù)g（x）=bx2-ax的零點是x=0和x=
-
1
2
-
1
2
．

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