Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P(－，1)在橢圓上，線段PF₂與y軸的交點(diǎn)M滿足＋＝0．
(1)求橢圓C的方程；
(2)橢圓C上任一動(dòng)點(diǎn)N(x₀，y₀)關(guān)于直線y＝2x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N₁(x₁，y₁)，求3x₁－4y₁的取值范圍．

Answer 1

（1）＋＝1    （2）[－10,10]

(1)點(diǎn)P(－，1)在橢圓上，
∴＋＝1．①
又∵＋＝0，M在y軸上，
∴M為PF₂的中點(diǎn)，
∴－＋c＝0，c＝．
∴a²－b²＝2，②
聯(lián)立①②，解得b²＝2(b²＝－1舍去)，
∴a²＝4．
故所求橢圓C的方程為＋＝1．
(2)∵點(diǎn)N(x₀，y₀)關(guān)于直線y＝2x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N₁(x₁，y₁)，
∴
解得
∴3x₁－4y₁＝－5x₀．
∵點(diǎn)N(x₀，y₀)在橢圓C：＋＝1上，
∴－2≤x₀≤2，
∴－10≤－5x₀≤10，
即3x₁－4y₁的取值范圍為[－10,10]．