Question

已知數(shù)列a_n是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，f（n）=a₁C_n¹+a₂C_n²+…+a_kC_n^k+…+a_nC_nⁿ（n∈N^*）則f（n）=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意寫出f（n）=a₁C_n¹+a₂C_n²+…+a_kC_n^k+…+a_nC_nⁿ（n∈N^*），再由組合數(shù)的性質(zhì)將其形式進(jìn)行變化，利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行化簡(jiǎn)求值

解答：解：∵數(shù)列a_n是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
∴f（n）=a₁C_n¹+a₂C_n²+…+a_kC_n^k+…+a_nC_nⁿ（n∈N^*）
=1×C_n¹+2×C_n²+…+2^k-1C_n^k+…+2^n-1C_nⁿ
=

1

2

（2×C_n^n-1+2²×C_n^n-2+…+2^kC_n^n-k+…+2ⁿC_n⁰）
=

1

2

（1×C_nⁿ+2×C_n^n-1+2²×C_n^n-2+…+2^kC_n^n-k+…+2ⁿC_n⁰）-

1

2

=

1

2

（1+2）ⁿ-

1

2

=

3n-1

2

故答案為

3n-1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)中所給的條件對(duì)f（n）進(jìn)行恒等變形，轉(zhuǎn)化為可以利用二項(xiàng)式化簡(jiǎn)的形式來，本題對(duì)觀察能力要求較高，根據(jù)題設(shè)條件結(jié)合所學(xué)的知識(shí)對(duì)問題靈活變形，是高中數(shù)學(xué)的重要能力，轉(zhuǎn)化化歸的能力，題后應(yīng)通過本題好好體會(huì)一下．本題易因?yàn)橹�識(shí)缺陷導(dǎo)致找不到轉(zhuǎn)化的方向而出錯(cuò)，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)一定要掌握牢固，理解透徹．