Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+mx+5）e^x，x∈R．
（1）若函數(shù)f（x）沒有極值點(diǎn)，求m的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）圖象在點(diǎn)（3，f（3））處切線與y軸垂直，求證：對于任意x₁，x₂∈[0，4]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤e³+e⁴．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，由于函數(shù)f（x）沒有極值點(diǎn)，則由于e^x＞0，則x²+（m+2）x+m+5＞0恒成立，即有判別式小于0，解得即可；
（2）由于f（x）圖象在點(diǎn)（3，f（3））處切線與y軸垂直，則f′（3）=0，即可得到m，再求f（x）在[0，4]上的最大值和最小值，則|f（x₁）-f（x₂）|不大于最大值和最小值的差．

解答： （1）解：函數(shù)f（x）=（x²+mx+5）e^x的導(dǎo)數(shù)
f′（x）=（x²+（m+2）x+m+5）•e^x，
由于函數(shù)f（x）沒有極值點(diǎn)，則由于e^x＞0，則x²+（m+2）x+m+5＞0恒成立，
即有判別式小于0，即（m+2）²-4（m+5）＜0，解得-4＜m＜4，
則m的取值范圍是（-4，4）；
（2）證明：f′（x）=（x²+（m+2）x+m+5）•e^x，
由于f（x）圖象在點(diǎn)（3，f（3））處切線與y軸垂直，
則f′（3）=0，即有9+3（m+2）+m+5=0，解得，m=-5．
則f（x）=（x²-5x+5）e^x，f′（x）=（x²-3x）•e^x，
則當(dāng)0＜x＜3時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，
當(dāng)x＞3或x＜0，f′（x）＞0，f（x）遞增，
則f（0）取極大且為5，f（3）取極小，且為-e³，
又f（4）=e⁴，
則f（x）在[0，4]的最小值為-e³，最大值為e⁴，
則對于任意x₁，x₂∈[0，4]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤e³+e⁴．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求極值和最值，考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．