Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)g′（x）=e^x，且g（0）g′（1）=e，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）若?x∈（0，+∞），使得不等式g(x)＜

x-m+3

x

成立，試求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）當a=0時，對于?x∈（0，+∞），求證：f（x）＜g（x）-2．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的定義域，求出導(dǎo)數(shù)f'（x）=a+

1

x

，分a≥0，a＜0兩種情況進行討論，a≥0時由單調(diào)性易判斷；當a＜0時可得極值；
（Ⅱ）由g'（x）=e^x，可設(shè)g（x）=e^x+c，再由g（0）g'（1）=e可得g（xg(x)＜

x-m+3

x

成立，分離出參數(shù)m后可得m＜x-ex

x

+3，令h(x)=x-ex

x

+3，則問題可轉(zhuǎn)化為：m＜h（x）_max，利用導(dǎo)數(shù)可求得h（x）_max；
（Ⅲ）a=0時，f（x）=lnx，令φ（x）=g（x）-f（x）-2，則φ（x）=e^x-lnx-2，φ′(x)=ex-

1

x

，且φ'（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，設(shè)φ'（x）=0的根為x=t，則et=

1

t

，即t=e^-t，易知φ（x）的最小值為φ（t），通過放縮可判斷φ（t）＞0，從而可得結(jié)論；

解答： 解：（Ⅰ） 函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=a+

1

x

（x＞0）．
當a≥0時，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，f（x）沒有極值；
當a＜0時，f′(x)=

a(x+ 1 a )

x

，
若x∈(0，-

1

a

)時，f'（x）＞0；若x∈(-

1

a

，+∞)時，f'（x）＜0，
∴f（x）存在極大值，且當x=-

1

a

時，f(x)極大=f(-

1

a

)=ln(-

1

a

)-1；
綜上可知：當a≥0時，f（x）沒有極值；當a＜0時，f（x）存在極大值，且當x=-

1

a

時，f(x)極大=f(-

1

a

)=ln(-

1

a

)-1；
（Ⅱ）∵函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)g'（x）=e^x，
∴g（x）=e^x+c，
又∵g（0）g'（1）=e，
∴（1+c）e=e⇒c=0，∴g（x）=e^x，
∵?x∈（0，+∞），使得不等式g(x)＜

x-m+3

x

成立，
∴?x∈（0，+∞），使得m＜x-ex

x

+3成立，
令h(x)=x-ex

x

+3，則問題可轉(zhuǎn)化為：m＜h（x）_max，
對于h(x)=x-ex

x

+3，x∈（0，+∞），由于h′(x)=1-ex(

x

+

1

2 x

)，
當x∈（0，+∞）時，
∵e^x＞1，

x

+

1

2 x

≥2

x • 1 2 x

=

2

，
∴ex(

x

+

1

2 x

)＞1，
∴h'（x）＜0，從而h（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
∴h（x）＜h（0）=3，∴m＜3；
（Ⅲ）當a=0時，f（x）=lnx，令φ（x）=g（x）-f（x）-2，
則φ（x）=e^x-lnx-2，
∴φ′(x)=ex-

1

x

，且φ'（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
設(shè)φ'（x）=0的根為x=t，則et=

1

t

，即t=e^-t，
∵當x∈（0，t）時，φ'（x）＜0，φ（x）在（0，t）上為減函數(shù)；
當x∈（t，+∞）時，φ'（x）＞0，φ（x）在（t，+∞）上為增函數(shù)，
∴φ(x)min=φ(t)=et-lnt-2=et-lne-t-2=et+t-2，
∵φ'（1）=e-1＞0，φ′(

1

2

)=

e

-2＜0，
∴t∈(

1

2

，1)，
由于φ（t）=e^t+t-2在t∈(

1

2

，1)上為增函數(shù)，
∴φ(x)min=φ(t)=et+t-2＞e

1

2

+

1

2

-2＞

2.25

+

1

2

-2=0，
∴f（x）＜g（x）-2．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值及證明不等式等問題，考查恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學生的推理論證能力、分析解決問題的能力，本題綜合性強，能力要求較高．