Question

設(shè)曲線y=（ax﹣1）e^x在點A（x₀，y₁）處的切線為l₁，曲線y=（1﹣x）e^﹣x在點B（x₀，y₂）處的切線為l₂．若存在，使得l₁⊥l₂，則實數(shù)a的取值范圍為         ．

Answer 1

解析試題分析：根據(jù)曲線方程分別求出導(dǎo)函數(shù)，把A和B的橫坐標(biāo)x₀分別代入到相應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)中求出切線l₁和切線為l₂的斜率，然后根據(jù)兩條切線互相垂直得到斜率乘積為﹣1，列出關(guān)于等式由解出，然后根據(jù)為減函數(shù)求出其值域即可得到a的取值范圍．
函數(shù)y=（ax﹣1）e^x的導(dǎo)數(shù)為y′=（ax+a﹣1）e^x，
∴l(xiāng)₁的斜率為，
函數(shù)y=（1﹣x）e^﹣x的導(dǎo)數(shù)為y′=（x﹣2）e^﹣x
∴l(xiāng)₂的斜率為，
由題設(shè)有k₁•k₂=﹣1從而有
∴a（x₀²﹣x₀﹣2）=x₀﹣3
∵得到x₀²﹣x₀﹣2≠0，所以，
又a′=，另導(dǎo)數(shù)大于0得1＜x₀＜5，
故在（0，1）是減函數(shù)，在（1，）上是增函數(shù)，
x₀=0時取得最大值為=；
x₀=1時取得最小值為1．
∴
考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；函數(shù)的值域；兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系．
點評：此題是一道綜合題，考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，會求函數(shù)的值域，掌握兩直線垂直時斜率的關(guān)系