Question

已知問題：上海迪斯尼工程某 施工工地上有一堵墻，工程隊(duì)欲將長為4a（a＞0）的建筑護(hù)欄（厚度不計(jì)）借助這堵墻圍成矩形的施工區(qū)域（如圖1），求所得區(qū)域的最大面積．解決這一問題的一種方法是：作出護(hù)欄關(guān)于墻面的軸對稱圖形（如圖2），則原問題轉(zhuǎn)化為“已知矩形周長為8a，求面積的最大值”從而輕松獲解．參考這種借助對稱圖形解決問題的方法，對于下列情形：已知兩堵墻互相垂直圍成“L”形，工程隊(duì)將長為4a（a＞0）的建筑護(hù)欄借助墻角圍成四邊形的施工區(qū)域（如圖3），可求得所圍區(qū)域的最大面積為

2(

2

+1)a2

．

Answer 1

分析：模仿題目中矩形面積最大值的求法，可把圖-3的四邊形對稱出一個(gè)八邊形，求四邊形面積的最大值，就是求八邊形面積的最大值，可知八邊形應(yīng)為正八邊形，由此求出四邊形護(hù)欄面積的最大值．

解答：解：不妨把圖-3看作如圖所示的四邊形，

作四邊形OACB關(guān)于OA、OB的對稱圖形，作四邊形OACB關(guān)于O點(diǎn)的中心對稱圖形．
得到一個(gè)八邊形，∵AC+CB=4a，∴八邊形的面積為16a．
求四邊形OACB面積的最大值，就是求八邊形面積的最大值．
由命題：周長一定的凸n邊形為正n邊形時(shí)面積最大．
可知八邊形為正八邊形時(shí)八邊形面積最大，由∠BOC=45°，BC=2a，
可求得O到BC的距離OD=

BD

tan 45° 2

=

a

sin45° 1+cos45°

=

a

2 2 1+ 2 2

=(

2

+1)a．
∴S△OBC=

1

2

BC•OD=

1

2

×2a×(

2

+1)a=(

2

+1)a2．
∴S四邊形OACB=2(

2

+1)a2．
∴可求得所圍區(qū)域的最大面積為2(

2

+1)a2．
故答案為：2(

2

+1)a2．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查了類比方法，解答此題的關(guān)鍵是明確“周長一定的凸n邊形為正n邊形時(shí)面積最大”，該題是中檔題．