Question

設O是△ABC的三邊中垂線的交點，a，b，c分別為角A，B，C對應的邊，已知b²-2b+c²=0，則

BC

•

AO

的范圍是

[-

1

4

，2)

．

Answer 1

分析：如圖所示，延長AO交外接圓于D．由于AD是⊙O的直徑，可得∠ACD=∠ABD=90°，于是cos∠CAD=

AC

AD

，cos∠BAD=

AB

AD

．可得

AO

•

BC

=

1

2

AD

•(

AC

-

AB

)=

1

2

AD

•

AC

-

1

2

AD

•

AB

=

1

2

b2-

1

2

c2．再利用c²=2b-b²，化為

AO

•

BC

=b²-b=(b-

1

2

)2-

1

4

．由于c²=2b-b²＞0，解得0＜b＜2．令f（b）=(b-

1

2

)2-

1

4

．利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：設O是△ABC的三邊中垂線的交點，故O是三角形外接圓的圓心
如圖所示，延長AO交外接圓于D．
∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD=∠ABD=90°．
∴cos∠CAD=

AC

AD

，cos∠BAD=

AB

AD

．
∴

AO

•

BC

=

1

2

AD

•(

AC

-

AB

)=

1

2

AD

•

AC

-

1

2

AD

•

AB

=

1

2

|

AD

| |

AC

|•cos∠CAD-

1

2

|

AD

| |

AB

|•cos∠BAD
=

1

2

|

AC

|2-

1

2

|

AB

|2
=

1

2

b2-

1

2

c2
=

1

2

b2-

1

2

(2b-b2)（∵c²=2b-b²）
=b²-b=(b-

1

2

)2-

1

4

．
∵c²=2b-b²＞0，解得0＜b＜2．
令f（b）=(b-

1

2

)2-

1

4

．
∴當b=

1

2

時，f（b）取得最小值-

1

4

．
又f（0）=0，f（2）=2．
∴-

1

4

≤f(b)＜2．
即

AO

•

BC

的取值范圍是[-

1

4

，2)．
故答案為[-

1

4

，2)．

點評：本題考查了三角形的外接圓的性質(zhì)、向量的運算法則、數(shù)量積運算、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎知識與基本方法，屬于難題．