設O是△ABC的三邊中垂線的交點,a,b,c分別為角A,B,C對應的邊,已知b2-2b+c2=0,則
BC
AO
的范圍是
[-
1
4
,2)
[-
1
4
,2)
分析:如圖所示,延長AO交外接圓于D.由于AD是⊙O的直徑,可得∠ACD=∠ABD=90°,于是cos∠CAD=
AC
AD
,cos∠BAD=
AB
AD
.可得
AO
BC
=
1
2
AD
•(
AC
-
AB
)
=
1
2
AD
AC
-
1
2
AD
AB
=
1
2
b2-
1
2
c2
.再利用c2=2b-b2,化為
AO
BC
=b2-b=(b-
1
2
)2-
1
4
.由于c2=2b-b2>0,解得0<b<2.令f(b)=(b-
1
2
)2-
1
4
.利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
解答:解:設O是△ABC的三邊中垂線的交點,故O是三角形外接圓的圓心
如圖所示,延長AO交外接圓于D.
∵AD是⊙O的直徑,∴∠ACD=∠ABD=90°.
cos∠CAD=
AC
AD
,cos∠BAD=
AB
AD

AO
BC
=
1
2
AD
•(
AC
-
AB
)
=
1
2
AD
AC
-
1
2
AD
AB

=
1
2
|
AD
| |
AC
|•cos∠CAD-
1
2
|
AD
| |
AB
|
•cos∠BAD
=
1
2
|
AC
|2-
1
2
|
AB
|2

=
1
2
b2-
1
2
c2

=
1
2
b2-
1
2
(2b-b2)
(∵c2=2b-b2
=b2-b=(b-
1
2
)2-
1
4

∵c2=2b-b2>0,解得0<b<2.
令f(b)=(b-
1
2
)2-
1
4

∴當b=
1
2
時,f(b)取得最小值-
1
4

又f(0)=0,f(2)=2.
-
1
4
≤f(b)<2

AO
BC
的取值范圍是[-
1
4
,2)

故答案為[-
1
4
,2)
點評:本題考查了三角形的外接圓的性質(zhì)、向量的運算法則、數(shù)量積運算、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎知識與基本方法,屬于難題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(1)自圓O外一點P引切線與圓切于點A,M為PA中點,過M引割線交圓于B,C兩點.求證:∠MCP=∠MPB.
(2)在平面直角坐標系xOy中,已知四邊形ABCD的四個頂點A(0,1),B(2,1),C(2,3),D(0,2),經(jīng)矩陣M=
10
k1
表示的變換作用后,四邊形ABCD變?yōu)樗倪呅蜛1B1C1D1,問:四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1的面積是否相等?試證明你的結(jié)論.
(3)已知A是曲線ρ=12sinθ上的動點,B是曲線ρ=12cos(θ-
π
6
)
上的動點,試求AB的最大值.
(4)設p是△ABC內(nèi)的一點,x,y,z是p到三邊a,b,c的距離,R是△ABC外接圓的半徑,證明
x
+
y
+
z
1
2R
a2+b2+c2

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科目:高中數(shù)學 來源:江蘇同步題 題型:解答題

(附加題)
(1)自圓O外一點P引切線與圓切于點A,M為PA中點,過M引割線交圓于B,C兩點.
求證:∠MCP=∠MPB.
(2)在平面直角坐標系xOy中,已知四邊形ABCD的四個頂點A(0,1),B(2,1),C(2,3),D(0,2),經(jīng)矩陣表示的變換作用后,四邊形ABCD變?yōu)樗倪呅蜛1B1C1D1,問:四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1的面積是否相等?試證明你的結(jié)論.
(3)已知A是曲線ρ=12sinθ上的動點,B是曲線上的動點,試求AB的最大值.
(4)設p是△ABC內(nèi)的一點,x,y,z是p到三邊a,b,c的距離,R是△ABC外接圓的半徑,證明

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

(1)自圓O外一點P引切線與圓切于點A,M為PA中點,過M引割線交圓于B,C兩點.求證:∠MCP=∠MPB.
(2)在平面直角坐標系xOy中,已知四邊形ABCD的四個頂點A(0,1),B(2,1),C(2,3),D(0,2),經(jīng)矩陣M=
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k1
表示的變換作用后,四邊形ABCD變?yōu)樗倪呅蜛1B1C1D1,問:四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1的面積是否相等?試證明你的結(jié)論.
(3)已知A是曲線ρ=12sinθ上的動點,B是曲線ρ=12cos(θ-
π
6
)
上的動點,試求AB的最大值.
(4)設p是△ABC內(nèi)的一點,x,y,z是p到三邊a,b,c的距離,R是△ABC外接圓的半徑,證明
x
+
y
+
z
1
2R
a2+b2+c2
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年江蘇省南京市六合高級中學高三(上)數(shù)學寒假作業(yè)(5)(解析版) 題型:解答題

(1)自圓O外一點P引切線與圓切于點A,M為PA中點,過M引割線交圓于B,C兩點.求證:∠MCP=∠MPB.
(2)在平面直角坐標系xOy中,已知四邊形ABCD的四個頂點A(0,1),B(2,1),C(2,3),D(0,2),經(jīng)矩陣表示的變換作用后,四邊形ABCD變?yōu)樗倪呅蜛1B1C1D1,問:四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1的面積是否相等?試證明你的結(jié)論.
(3)已知A是曲線ρ=12sinθ上的動點,B是曲線上的動點,試求AB的最大值.
(4)設p是△ABC內(nèi)的一點,x,y,z是p到三邊a,b,c的距離,R是△ABC外接圓的半徑,證明

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