Question

已知5只動物中有且僅有1只患病，需要通過化驗血液確定患病動物．血檢呈陽性即為患病，否則沒患病．現(xiàn)有以下兩種驗血方案，每種驗血方案都直到檢驗出某動物血液呈陽性為止．
甲：逐個隨機檢驗．
乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗，若呈陽性，表明患病動物在這3只之中，再對這3只逐個隨機檢驗；否則，在另外兩只中逐個隨機檢驗．
①甲、乙哪個方案能更快檢驗出患病動物；
②求依方案乙所需檢驗次數(shù)不多于依方案甲所需檢驗次數(shù)的概率．

Answer 1

分析：①甲方案檢到某動物血液呈陽性所需要檢驗次數(shù)為ξ，乙方案檢到某動物血液呈陽性所需要檢驗次數(shù)為η，根據(jù)題意寫出兩個變量的可能取值，結合事件寫出概率，分布列和期望，比較兩種方法的快慢，得到結論．
②方案乙所需檢驗次數(shù)不多于方案甲所需檢驗次數(shù)，包含三種情況，這三種情況是互斥的，根據(jù)互斥事件的概率寫出結果．

解答：解：①甲方案檢到某動物血液呈陽性所需要檢驗次數(shù)為ξ，
乙方案檢到某動物血液呈陽性所需要檢驗次數(shù)為η，
依題意，
其中p(η=2)=

C 1 3

C 1 5

×

1

3

+

C 1 2

C 1 5

×

1

2

=0.4，
p(η=3)=

C 1 3

C 1 5

×

2

3

×

1

2

+

C 1 2

C 1 5

×

1

2

×

1

1

=0.4
p(η=4)=

C 1 3

C 1 5

×

2

3

×

1

2

×

1

1

=0.2．

Eξ=3，Eη=2.8．Eη＜Eξ，
∴乙方案能更快檢驗出患病動物．
②p(η≤ξ)=0.2×(

1

5

+

1

5

)+0.4×(

1

5

+

1

5

+

1

5

)+0.4×(

1

5

+

1

5

+

1

5

+

1

5

)=0.64，
即依方案乙所需檢驗次數(shù)不多于依方案甲所需檢驗次數(shù)的概率為0.64．

點評：本題是不同概型、不同隨機變量分析比較的概率問題，解題的關鍵是確定隨機變量及其分布列，知道是對哪個數(shù)字特征進行比較，再相應地計算比較．本題僅適合理科學生．