Question

（1）已知x，y，z∈R，且x+y+z=8，x²+y²+z²=24，求證：．
（2）已知a₁，b₁，x₁，x₂∈R₊，ab=1，x₁+x₂=2，求證：（ax₁+bx₂）（bx₁+ax₂）≥4
（3）已知．

Answer 1

【答案】分析：（1）用x表示y+z和y²+z²，即y+z=8-x，y²+z²=24-x²．再利用柯西不等式（y²+z²）（1+1）≥（y+z）²
得到關(guān)于x的一元二次不等式（24-x²）（1+1）≥（8-x）²，化簡(jiǎn)求得x的范圍即可，同理可求得y和z的范圍
（2）直接利用柯西不等式證明得到；
（3）直接利用柯西不等式證明得到．
解答：證明：（1）∵x，y，z∈R，x+y+z=8，x²+y²+z²=24，∴y+z=8-x，y²+z²=24-x²．
又由柯西不等式可知（y²+z²）（1+1）≥（y+z）²，即（24-x²）（1+1）≥（8-x）²，
化簡(jiǎn)后可得，同理可證，．
（2）∵a₁，b₁，x₁，x₂∈R₊，ab=1，x₁+x₂=2，
∴=（x₁+x₂）²=4．
∴（ax₁+bx₂）（bx₁+ax₂）≥4．
（3）∵a．b．c．d∈R₊a+b+c+d=1，
∴．
點(diǎn)評(píng)：此題考查柯西不等式應(yīng)用．