Question

已知橢圓G的中心在坐標原點，長軸在x軸上，離心率為

3

2

，兩個焦點分別為F₁和F₂，橢圓G上一點到F₁和F₂的距離之和為12．圓C_k：x²+y²+2kx-4y-21=0（k∈R）的圓心為點A_k．
（1）求橢圓G的方程
（2）求△A_kF₁F₂的面積
（3）問是否存在圓C_k包圍橢圓G？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先設橢圓的標準方程，然后由橢圓定義知，橢圓G上一點到F₁、F₂的距離之和為12，即2a=12，求得a，再根據離心率為

3

2

，求得c，最后利用橢圓中b²=a²-c²求得b，則橢圓G的方程解決．
（2）先通過圓C_k：x²+y²+2kx-4y-21=0（k∈R）表示出其圓心A_k的坐標，則其縱坐標2為△A_kF₁F₂的高，而F₁F₂的長度為焦距2c，所以代入三角形面積公式問題解決．
（3）先對k進行分類，再利用特殊點（即橢圓的左右兩個頂點）可判定不論k為何值圓C_k都不能包圍橢圓G．

解答：解：（1）設橢圓G的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），半焦距為c，
則

2a=12 c a = 3 2

，解得

a=6 c=3 3

，
∴b²=a²-c²=36-27=9
所以橢圓G的方程為：

x2

36

+

y2

9

=1．
（2）由圓C_k的方程知，圓心A_K的坐標為（-k，2），
∴S△AKF1F2=

1

2

×F1F2×2=

1

2

×6

3

×2=6

3

．
（3）若k≥0，由6²+0²+12k-0-21=15+12k＞0可知點（6，0）在圓C_k外，
若k＜0，由（-6）²+0²-12k-0-21=15-12k＞0可知點（-6，0）在圓C_k外；
∴不論k為何值圓C_k都不能包圍橢圓G．

點評：本題主要考查橢圓的標準方程與性質，同時與圓結合考查了圓的部分性質．