Question

【題目】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分別為B1C1，C1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，且AP∥平面EFDB，則cos∠APA1的最小值是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)A1C1，交EF于M，連結(jié)OM，則AOPM，從而A1P＝C1M，由此能求出cos∠APA1的值.

解：如圖，連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)A1C1，交EF于M，連結(jié)OM，

面，為底面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，

∴cos∠APA1，

所以當(dāng)取最小值時(shí)，cos∠APA1有最小值，

且E，F分別為B1C1，C1D1的中點(diǎn)，分別取和的中點(diǎn)，，

則有，進(jìn)而得到面，又AP∥平面EFDB，則點(diǎn)必在上，

明顯地，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，取最小值，此時(shí)取最小值，cos∠APA1有最小值，，此時(shí)，如下圖，

設(shè)正方形ABCD﹣A1B1C1D1中棱長(zhǎng)為1，∵在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，

E，F分別為B1C1，C1D1的中點(diǎn)，又點(diǎn)P是底面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，

且AP∥平面EFDB，且面面于，

，又，，四邊形為平行四邊形

∴AOPM，又 E，F分別為B1C1，C1D1的中點(diǎn)，，且，

，又，∴A1P＝C1M，

∴cos∠APA1，即cos∠APA1的最小值是.

故選：C.