Question

某種項目的射擊比賽，開始時在距目標100m處射擊，如果命中記6分，且停止射擊；若第一次射擊未命中，可以進行第二次射擊，但目標已經(jīng)在150m處，這時命中記3分，且停止射擊；若第二次仍未命中，還可以進行第三次射擊，此時目標已經(jīng)在200m處，若第三次命中則記1分，并停止射擊；若三次都未命中，則記0分，且不再繼續(xù)射擊．已知射手甲在100m處擊中目標的概率為，他的命中率與其距目標距離的平方成反比，且各次射擊是否擊中目標是相互獨立的．
（Ⅰ）分別求這名射手在150m處、200m處的命中率；
（Ⅱ）設(shè)這名射手在比賽中得分數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

解：（1）由題意，這名選手距目標xm處的命中率，∵，∴k=5000，（2分）
∴
即這名射手在150m處、200m處的命中率分別為．（5分）
（2）由題意ξ∈6，3，1，0，（6分）
記100m，150m，200m處命中目標分別為事件A，B，C
由（1）知，，（7分），（8分）
，（9分）
所以隨機變量ξ的分布列為

ξ	6	3	1	0
P

（10分）（12分）．
分析：（I）由題意，這名選手距目標xm處的命中率，根據(jù)射手甲在100m處擊中目標的概率為，求出k，然后可求出這名射手在150m處、200m處的命中率；
（II）這名射手在比賽中得分數(shù)為ξ，ξ的可能取值為6、3、1、0，結(jié)合變量對應(yīng)的事件，寫出變量的概率，寫出分布列和期望．
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率，是一個綜合題，這類問題的解法實際上不困難，只要注意解題的步驟就可以．