Question

已知雙曲線過點A（2，3），其一條漸近線的方程為．
（I）求該雙曲線的方程；
（II）若過點A的直線與雙曲線右支交于另一點B，△AOB的面積為，其中O為坐標原點，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知可設雙曲線的方程為，由雙曲線過點A可求λ，進而可求雙曲線的方程
（II）易知，直線OA的方程為3x-2y=0，設B（x，y）（x≥1），則點B到直線OA的距離d=
又由條件知=可求B及直線方程
解答：解：（I）由已知可設雙曲線的方程為
即3x²-y²=λ
又由雙曲線過點A（2，3），則3×4-9=λ，即λ=3
所以，所求的雙曲線的方程為：
（II）易知，直線OA的方程為3x-2y=0
設B（x，y）（x≥1），則點B到直線OA的距離d=
又由條件知=
即
于是|3x-2y|=3
①若3x-2y=3由得x²+6x-7=0
解得x=1或x=-7（舍去），此時y=0即B（1，0）
②若3x-2y=-3由得x²-6x-7=0
解得，x=7或x=-1（舍去），此時y=12，即B（7，12）
所以所求的直線方程為3x-y-3=0或9x-5y-3=0
點評：本題主要考查了由雙曲線的性質求解雙曲線的方程，解題的關鍵是由漸近線方程可設雙曲線的方程為，而處理直線與曲線方程的位置關系的常見方法是聯(lián)立方程組，轉化為求解方程的問題．