Question

【題目】若數(shù)列滿足：對于任意，均為數(shù)列中的項，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．

（1）若數(shù)列的前項和，，試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”？說明理由；

（2）若公差為的等差數(shù)列為“數(shù)列”，求的取值范圍；

（3）若數(shù)列為“數(shù)列”，，且對于任意，均有，求數(shù)列的通項公式．

Answer 1

【答案】（1）不是，見解析（2）（3）

【解析】

（1）利用遞推關系求出數(shù)列的通項公式，進一步驗證時，是否為數(shù)列中的項，即可得答案；

（2）由題意得，再對公差進行分類討論，即可得答案；

（3）由題意得數(shù)列為等差數(shù)列，設數(shù)列的公差為，再根據(jù)不等式得到公差的值，即可得答案；

（1）當時，

又，所以．

所以

當時，，而，

所以時，不是數(shù)列中的項，故數(shù)列不是為“數(shù)列”

（2）因為數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，

所以．

因為數(shù)列為“數(shù)列”

所以任意，存在，使得，即有．

①若，則只需，使得，從而得是數(shù)列中的項．

②若，則．此時，當時，不為正整數(shù)，所以不符合題意．綜上，．

（3）由題意，所以，

又因為，且數(shù)列為“數(shù)列”，

所以，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列．

設數(shù)列的公差為，則有，

由，得，

整理得，①

．②

若，取正整數(shù)，

則當時，，

與①式對應任意恒成立相矛盾，因此．

同樣根據(jù)②式可得，

所以．又，所以．

經(jīng)檢驗當時，①②兩式對應任意恒成立，

所以數(shù)列的通項公式為．