Question

【題目】已知定義在R上的函數(shù)f（x）= （a∈R）是奇函數(shù)，函數(shù)g（x）= 的定義域?yàn)椋ī?，+∞）．
（1）求a的值；
（2）若g（x）= 在（﹣2，+∞）上單調(diào)遞減，根據(jù)單調(diào)性的定義求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間（﹣1，1）上有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴f（﹣x）=﹣f（x），

∴ =﹣ ，得a=0

（2）解：∵ 在（﹣2，+∞）上單調(diào)遞減，

∴任給實(shí)數(shù)x1，x2，當(dāng)﹣2＜x1＜x2時(shí)，g（x1）＞g（x2），

∴

∴m＜0

（3）解：由（1）得f（x）= ，令h（x）=0，即 ．

化簡(jiǎn)得x（mx2+x+m+2）=0．

∴x=0或 mx2+x+m+2=0

若0是方程mx2+x+m+2=0的根，則m=﹣2，

此時(shí)方程mx2+x+m+2=0的另一根為 ，符合題意

若0不是方程mx2+x+m+2=0的根，

則函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間（﹣1，1）上有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)

等價(jià)于方程mx2+x+m+2=0（※）在區(qū)間（﹣1，1）上有且僅有一個(gè)非零的實(shí)根

①當(dāng)△=12﹣4m（m+2）=0時(shí)，得 ．

若 ，則方程（※）的根為 ，符合題意；

若 ，則與（2）條件下m＜0矛盾，不符合題意．

∴

③當(dāng)△＞0時(shí)，令ω（x）=mx2+x+m+2

由 ，得 ，

解得

綜上所述，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，求出a=0即可；（2）根據(jù)函數(shù)g（x）在（﹣2，+∞）上單調(diào)遞減，得到g（x1）﹣g（x2）＞0，從而求出m的范圍即可；（3）問題轉(zhuǎn)化為x=0或 mx2+x+m+2=0，通過討論m的范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出m的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí)，掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．