已知直線，圓O：＝36（O為坐標原點），橢圓C：＝1（a＞b＞0）的離心率為e＝，直線l被圓O截得的弦長與橢圓的長軸長相等。
（I）求橢圓C的方程；（II）過點（3,0）作直線l，與橢圓C交于A，B兩點設（O是坐標原點），是否存在這樣的直線l，使四邊形為ASB的對角線長相等？若存在　，求出直線l的方程，若不存在，說明理由。

解：（Ⅰ）∵圓心O到直線的距離為，
直線l被圓O截得的弦長2a=,∴a=2,
又，解得，
∴橢圓C的方程為：;                             ………4分
（Ⅱ）∵,∴四邊形OASB是平行四邊形.
假設存在這樣的直線l,使四邊形OASB的對角線長相等,
則四邊形OASB為矩形，因此有,
設A(x1，y2)，B(x2，y2)，則.                  ………7分
直線l的斜率顯然存在，設過點（3,0）的直線l方程為：，
由，得，     
由，即.
………9分

,
由得：，滿足Δ>0.     ………12分
故存在這樣的直線l,其方程為.              ………13分
略
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的右焦點為且,設短軸的一個端點為,原點到直線的距離為，過原點和軸不重合的直線與橢圓相交于兩點，且.
(1) 求橢圓的方程；
(2) 是否存在過點的直線與橢圓相交于不同的兩點且使得成立？若存在，試求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e，若橢圓上存在點P，使得，則該離心率e的取值范圍是__________；

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖,直角梯形ABMN中,∠NAB=90°，AN∥BM,AB=2,AN=,BM=,橢圓C以A,B為焦點且過點N.

（1）建立適當?shù)淖鴺讼?求橢圓C方程;
(2)若點E滿足,問是否存在不平行AB的直線L與橢圓C交于P,Q兩點,且|PE|=|QE|,若存在,求出直線L與AB夾角的范圍;若不存在,說明理由?

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓.,分別為橢圓的左,右焦點,, 分別為橢圓的左,右頂點.過右焦點且垂直于軸的直線與橢圓在第一象限的交點為.
(1) 求橢圓的標準方程;
(2) 直線與橢圓交于,兩點, 直線與交于點.當直線變化時, 點是否恒在一條定直線上?若是,求此定直線方程;若不是,請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，一個焦點為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線交橢圓于，兩點，若點，都在以點為圓心的圓上，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

過且兩兩互相垂直的直線分別交橢圓于。（13分）
（1）求的最值
（2）求證：為定值

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分13分）已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切，分別是橢圓的左右兩個頂點， 為橢圓上的動點.
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若與均不重合，設直線與的斜率分別為，證明：為定值；
（Ⅲ）為過且垂直于軸的直線上的點，若，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

. (本小題滿分12分）
如圖，設拋物線C1:的準線與x軸交于F1，焦點為F2；以F1,F2為焦點，離心率的橢圓C2與拋物線C1在X軸上方的交點為P,延長PF2交拋物線于點Q，M是拋物線上一動點，且M在P與Q之間運動.
(I)當m =1時，求橢圓C2的方程；
(II)當的邊長恰好是三個連續(xù)的自然數(shù)時，求面積的最大值.

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