Question

已知{a_n}為等差數(shù)列，且a_n≠0，公差d≠0．
（1）試證：；；；
（2）根據(jù)（1）中的幾個(gè)等式，試歸納出更一般的結(jié)論，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）把三個(gè)式子分別通分后，利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡即可得證；（2）根據(jù)第一問的三個(gè)等式，歸納總結(jié)出一般性的結(jié)論，然后利用數(shù)學(xué)歸納法假設(shè)n等于k時(shí)成立，當(dāng)n等于k+1時(shí)，通分并利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得也成立，得到n大于等于2時(shí)，此一般性結(jié)論都成立．
解答：解：（1）證明：由{a_n}為等差數(shù)列可得a_n-a_n-1=d（n≥2），則-==得證；
==-+-=+=d•=得證；
==（-）-（-）
=-=3d•==得證．
（2）結(jié)論：，
證：①當(dāng)n=2，3，4時(shí)，等式成立，
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，成立，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)镃_k^i-1=C_k-1^i-1+C_k-1^k-2，所以=====，
所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
綜合①②知，對n≥2都成立．
點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡求值，要求學(xué)生會(huì)根據(jù)特殊的等式歸納總結(jié)出一般性的結(jié)論并會(huì)利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，是一道中檔題．