Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l：x=

a2

c

與x軸交于點(diǎn)B，且與一條漸近線交于點(diǎn)C，又

OA

=2

OB

，

OA

•

OC

=2，過點(diǎn)F的直線m與雙曲線右支交于點(diǎn)M，N，點(diǎn)P為點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)．
（1）求雙曲線的方程；
（2）判斷B，P，N三點(diǎn)是否共線，并說明理由；
（3）求三角形BMN面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)

OA

=2

OB

，

OA

•

OC

=2，可得

a=2× a2 c a× a2 c =2

，由此可求雙曲線中的幾何量，從而可求雙曲線的方程；
（2）設(shè)直線m的方程代入

x2

4

-

y2

12

=1整理得一元二次方程，用坐標(biāo)表示向量結(jié)合韋達(dá)定理，即可得到B，P，N三點(diǎn)共線；
（3）因?yàn)橹本�m與雙曲線右支交于點(diǎn)M，N，可得t2＜

1

3

，表示出三角形的面積，再換元，利用配方法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可求三角形BMN面積的最小值．

解答：解：（1）∵

OA

=2

OB

，

OA

•

OC

=2，
∴

a=2× a2 c a× a2 c =2

，∴a²=4，c=4
∴b²=c²-a²=12
∴雙曲線的方程為

x2

4

-

y2

12

=1；
（2）由（1）可知B（1，0），F(xiàn)（4，0），
由題意直線m的斜率不為0，所以設(shè)直線m的方程為x=ty+4，代入

x2

4

-

y2

12

=1整理得（3t²-1）y²+24ty+36=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則P（x₁，-y₁）．
由韋達(dá)定理知y1+y2=-

24t

3t2-1

，y1y2=

36

3t2-1

，
所以

BP

=(x1-1，-y1)，

BN

=(x2-1，y2)．
因?yàn)椋▁₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）=x₁y₂+x₂y₁-y₁-y₂=2ty1y2+3(y1+y2)=2t

36

3t2-1

+3(-

24t

3t2-1

)=0
∴向量

BP

，

BN

共線，所以B，P，N三點(diǎn)共線．
（3）因?yàn)橹本�m與雙曲線右支交于點(diǎn)M，N，所以x₁x₂=（ty₁+4）（ty₂+4）＞0，得t2＜

1

3

．
∴S△BMN=

1

2

|BF||y1-y2|=

1

2

×3×

(y1+y2)2-4y1y2

=

6 3 3+3t2

1-3t2

，
令u=1-3t²，則u∈（0，1]，S△BMN=

6 3 4-u

u

=6

3

4 u2 - 1 u

=6

3

4( 1 u - 1 8 )2- 1 16

，
又

1

u

∈[1，+∞)，所以

1

u

=1，即t=0時(shí)，三角形BMN面積的最小值18．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，同時(shí)考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．