Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+1，g（x）=x³+bx，其中a＞0，b＞0．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點P（2，c）處有相同的切線（P為切點），求a，b的值；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）+g（x），若函數(shù)h（x）的單調遞減區(qū)間為[]，求：
（1）函數(shù)h（x）在區(qū)間（一∞，-1]上的最大值M（a）；
（2）若|h（x）|≤3，在x∈[-2，0]上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）f（x）=ax²+1（a＞0），則f'（x）=2ax，k₁=4a，g（x）=x³+bx，則f'（x）=3x²+b，k₂=12+b，
由（2，c）為公共切點，可得：4a=12+b  ①
又f（2）=4a+1，g（2）=8+2b，
∴4a+1=8+2b，與①聯(lián)立可得：a=，b=5．
（Ⅱ）（1）由h（x）=f（x）+g（x）=x³+ax²+bx+1，
則h′（x）=3x²+2ax+b，
因函數(shù)h（x）的單調遞減區(qū)間為[]，∴當x∈[]時，3x²+2ax+b≤0恒成立，
此時，x=-是方程3x²+2ax+b=0的一個根，得3（-）²+2a（-）+b=0，得a²=4b，
∴h（x）=x³+ax²+a²x+1
令h'（x）=0，解得：x₁=-，x₂=-；
∵a＞0，∴-＜-，列表如下：

x	（-∞，-）	-	（-，-）	-	（-，+∞
h′（x）	+	?	-	?	+
h（x）	?	極大值	?	極小值	?

∴原函數(shù)在（-∞，-）單調遞增，在（-，-）單調遞減，在（-，+∞）上單調遞增
①若-1≤-，即a≤2時，最大值為h（-1）=a-；
②若-＜-1＜-，即2＜a＜6時，最大值為h（-）=1
③若-1≥-時，即a≥6時，最大值為h（-）=1．
綜上所述：當a∈（0，2]時，最大值為h（-1）=a-；當a∈（2，+∞）時，最大值為h（-）=1．
（2）由（1）知，函數(shù)h（x）在（-∞，-）單調遞增，在（-，-）單調遞減，在（-，+∞）上單調遞增
故h（-）為極大值，h（-）=1；h（-）為極小值，h（-）=-；
∵|h（x）|≤3，在x∈[-2，0]上恒成立，又h（0）=1．
∴即，解得
∴a的取值范圍：4-2a≤6．

分析：（I）根據(jù)曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點（2，c）處具有公共切線，可知切點處的函數(shù)值相等，切點處的斜率相等，故可求a、b的值；
（II）（1）根據(jù)函數(shù)h（x）的單調遞減區(qū)間為[]得出a²=4b，構建函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）=x³+ax²+a²x+1，求導函數(shù)，利用導數(shù)的正負，可確定函數(shù)的單調區(qū)間，進而分類討論，確定函數(shù)在區(qū)間（-∞，-1）上的最大值．
（2）由（1）知，函數(shù)h（x）在（-∞，-）單調遞增，在（-，-）單調遞減，在（-，+∞）上單調遞增
，從而得出其極大值、極小值，再根據(jù)|h（x）|≤3，在x∈[-2，0]上恒成立，建立關于a的不等關系，解得a的取值范圍即可．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調性與最值，解題的關鍵是正確求出導函數(shù)和應用分類討論的方法．