已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax2＋(2－a)x

(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)a＞0，證明：當(dāng)0＜x＜時，f；

(3)若函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，證明f′(x0)＜0.

解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝－2ax＋(2－a)＝－.………1分

①若a≤0，則f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞增．…………2分

②若a＞0，則由f′(x)＝0得x＝，且當(dāng)x∈時，f′(x)＞0，當(dāng)x＞時，f′(x)＜0.所以f(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．…………4分

(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝f－f，則g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax，

g′(x)＝＋－2a＝.     …………………………6分

當(dāng)0＜x＜時，g′(x)＞0，…………7分    而g(0)＝0，所以g(x)＞0.

故當(dāng)0＜x＜時，f＞f.     …………………………9分

（3）當(dāng)a≤0時，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸至多有一個交點(diǎn)，故a＞0，…………10分

從而f（x）的最大值為，且.…………………………11分

不妨設(shè),則.由（2）得，而f(x)在單調(diào)遞減．

∴……14分于是.由（1）知，.…………15分

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋1，g(x)＝ln(x＋1)．

(1)求函數(shù)y＝g(x)－x在[0,1]上的最小值；

(2)當(dāng)a≥時，函數(shù)t(x)＝f(x)＋g(x)的圖像記為曲線C，曲線C在點(diǎn)(0,1)處的切線為l，是否存在a使l與曲線C有且僅有一個公共點(diǎn)？若存在，求出所有a的值；否則，說明理由．

(3)當(dāng)x≥0時，g(x)≥－f(x)＋恒成立，求a的取值范圍．

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已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16，

(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線的方程；

(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)；

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年陜西省高二下期第一次月考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一點(diǎn)P(1，－2)，過點(diǎn)P作直線l.

(1)求使直線l和y＝f(x)相切且以P為切點(diǎn)的直線方程；

(2)求使直線l和y＝f(x)相切且切點(diǎn)異于P的直線方程．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專項(xiàng)訓(xùn)練（河北） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在x＝1處的切線為l：3x－y＋1＝0，當(dāng)x＝時，y＝f(x)有極值．

(1)求a、b、c的值；

(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專項(xiàng)訓(xùn)練（河北） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋ax(x∈R，a∈R)，在曲線y＝f(x)的所有切線中，有且僅有一條切線l與直線y＝x垂直．

(1)求a的值和切線l的方程；

(2)設(shè)曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線的傾斜角為θ，求θ的取值范圍

 

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