Question

如圖，點是橢圓的一個頂點，的長軸是圓的直徑，、是過點且互相垂直的兩條直線，其中交圓于、兩點，交橢圓于另一點.

（1）求橢圓的方程；

（2）求面積的最大值及取得最大值時直線的方程.

 

Answer 1

（1）；當(dāng)直線的方程為時，的面積取最大值.

【解析】

試題分析：（1）首先根據(jù)題中條件求出和的值，進(jìn)而求出橢圓的方程；（2）先設(shè)直線的方程為，先利用弦心距、半徑長以及弦長之間滿足的關(guān)系（勾股定理）求出直線截圓所得的弦長

，然后根據(jù)直線與兩者所滿足的垂直關(guān)系設(shè)直線，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出直線截橢圓的弦長，然后求出的面積的表達(dá)式，并利用基本不等式求出的面積的最大值，并求出此時直線的方程.

試題解析：（1）由題意得，橢圓的方程為；

（2）設(shè)、、，

由題意知直線的斜率存在，不妨設(shè)其為，則直線的方程為，

故點到直線的距離為，又圓，，

又，直線的方程為，

由，消去，整理得，

故，代入的方程得

，

設(shè)的面積為，則，

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時上式取等號，

當(dāng)時，的面積取得最大值，

此時直線的方程為

考點：1.橢圓的方程；2.直線與圓、橢圓的位置關(guān)系；3.基本不等式