定義全集U的子集P的特征函數(shù)fp(x)=
1,  x∈P
0,  x∈?UP
,這里?UP表示集合P在全集U的補(bǔ)集.已知P?U,Q?U,給出下列命題:其中正確的是( 。
①若P?Q,則對于任意x∈U,都有fP(x)≤fQ(x);
②對于任意x∈U,都有fCUp(x)=1-fp(x);
③對于任意x∈U,都有fP∩Q(x)=fp(x)?fQ(x);
④對于任意x∈U,都有fP∪Q(x)=fp(x)+fQ(x).
A、①②③B、①②④
C、①③④D、②③④
分析:根據(jù)特征函數(shù)的定義分別進(jìn)行判斷即可.
解答:解:由函數(shù)fp(x)=
1,  x∈P
0,  x∈?UP
,可知
①∵P⊆Q,∴若x∈P,則x∈Q,
fQ(x)=
1,x∈Q
0,x∈CUQ
,
∴fP(x)≤fQ(x);∴①正確.
②fCUp(x)=
1,x∈CUP
0, x∈P
=1-fp(x),∴②正確.

③fP∩Q(x)=
1,x∈P∩Q
0,x∈CU(P∩Q)
=
1,x∈P∩Q
0,x∈(CUP)∪(CUQ)
=
1,x∈P
0,x∈CUP
1,x∈Q
0.x∈CUQ
=fp(x)•fQ(x),∴③正確.
④fP∪Q(x)=
0,x∈P∪Q
1,x∈CU(P∪Q)
≠fp(x)+fQ(x),∴④錯(cuò)誤.
故正確的是①②③.
故選:A.
點(diǎn)評:本題主要考查與集合運(yùn)算有關(guān)的新定義問題,正確理解題意是解決本題的關(guān)鍵,難度較大,綜合性較強(qiáng).
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