Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

x2

a

-blnx，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為10x+2y-11=0
（1）求y=f（x）的解析式
（2）若點P為曲線y=f（x）上的點，且曲線在點P處切線的傾斜角取值范圍是[0，

π

4

]，求點P的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導函數(shù)，再求出導函數(shù)在x=1處的導數(shù)即斜率，在x=1處的函數(shù)值即為切點的縱坐標，即可求出y=f（x）的解析式；
（2）由切線傾斜角的范圍得到斜率范圍，求出原函數(shù)的導函數(shù)，設(shè)出P點的坐標，得到曲線C在點P處的導數(shù)，然后得到關(guān)于點P橫坐標的不等式，求解不等式得答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x2

a

-blnx，
∴f′（x）=

2x

a

-

b

x

，
∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為10x+2y-11=0，
∴f（1）=

1

2

，f′（1）=-5，
∴

1

a

=

1

2

，

2

a

-b=-5，
∴a=2，b=6，
∴f（x）=

x2

2

-6lnx；
（2）∵傾斜角α∈[0，

π

4

]，
∴tanα∈[0，1]，
設(shè)點P的坐標為（x₀，y₀），
∵tanα=f′（x₀）=x0-

6

x0

，
∴0≤x0-

6

x0

≤1，
解得[-

6

，-2]∪[

6

，3]．
∴點P的橫坐標的范圍為[-

6

，-2]∪[

6

，3]．

點評：本題考查學生會利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程，曲線在某點處的導數(shù)，就是過該點的切線的斜率，屬于中檔題．