如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，是橢圓上不同的三點(diǎn)，，，在第三象限，線段的中點(diǎn)在直線上．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上（異于點(diǎn)，，）且直線PB，PC分別交直線OA于，兩點(diǎn)，證明為定值并求出該定值．

(1)；(2)；(3)．

解析試題分析：(1)已知橢圓過兩點(diǎn)，可把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入方程列出關(guān)于的方程組，然后把分別作為整體，方程組就變?yōu)槎淮畏匠探M，從而可很快解得；(2)關(guān)鍵是線段的中點(diǎn)在直線上，可設(shè)，由線段中點(diǎn)為，而直線的方程可求得，代入可得的一個(gè)方程，點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程又得另一方程，聯(lián)立可解得點(diǎn)坐標(biāo)；(3)這類問題我們采取設(shè)而不求的方法，設(shè)，在直線上，則，同理，
，下面我們想辦法把用表示出來，這可由共線，共線得到，這里要考查同學(xué)計(jì)算能力，只要計(jì)算正確，就能得出正確結(jié)論．
試題解析：（1）由已知，得解得       2分
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．       3分
（2）設(shè)點(diǎn)，則中點(diǎn)為．
由已知，求得直線的方程為，從而．①
又∵點(diǎn)在橢圓上，∴．②
由①②，解得（舍），，從而．       5分
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．       6分
（3）設(shè)，，．
∵三點(diǎn)共線，∴，整理，得．       8分
∵三點(diǎn)共線，∴，整理，得．       10分
∵點(diǎn)在橢圓上，∴，．
從而．       14分
所以．       15分
∴為定值，定值為．       16分
考點(diǎn)：(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)中點(diǎn)問題；(3)定值問題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為．設(shè)是橢圓長軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點(diǎn)為曲線:上任一點(diǎn)（點(diǎn)不同于），直線與直線交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，試判斷直線與曲線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

拋物線，直線過拋物線的焦點(diǎn)，交軸于點(diǎn).

（1）求證：；
（2）過作拋物線的切線，切點(diǎn)為（異于原點(diǎn)），
（i）是否恒成等差數(shù)列，請(qǐng)說明理由；
（ii）重心的軌跡是什么圖形，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點(diǎn)點(diǎn)分別是軸和軸上的動(dòng)點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E.
（1）求曲線E的方程；
（2）點(diǎn)Q（1,a），M,N為曲線E上不同的三點(diǎn)，且，過M,N兩點(diǎn)分別作曲線E的切線，記兩切線的交點(diǎn)為，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的方程為,其中.
（1）求橢圓形狀最圓時(shí)的方程；
（2）若橢圓最圓時(shí)任意兩條互相垂直的切線相交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在一個(gè)定圓上.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，A為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且，的面積為1（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）.
（1）求橢圓的方程；
（2）若C、D分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足，連結(jié)CM，交橢圓于點(diǎn)，證明：為定值；
（3）在（2）的條件下，試問軸上是否存在異于點(diǎn)C的定點(diǎn)Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知離心率為的橢圓的頂點(diǎn)恰好是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上不同于的任意一點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)，在焦點(diǎn)在軸上的橢圓上求一點(diǎn)Q，使該點(diǎn)到直線（的距離最大。
（3）試判斷乘積“（”的值是否與點(diǎn)（的位置有關(guān)，并證明你的結(jié)論；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知定點(diǎn)A(－4，0)、B(4，0)，動(dòng)點(diǎn)P與A、B連線的斜率之積為－.
(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；
(2)設(shè)點(diǎn)P的軌跡與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C.半徑為r的圓M的圓心M在線段AC的垂直平分線上，且在y軸右側(cè)，圓M被y軸截得的弦長為r.
(ⅰ)求圓M的方程；
(ⅱ)當(dāng)r變化時(shí)，是否存在定直線l與動(dòng)圓M均相切？如果存在，求出定直線l的方程；如果不存在，說明理由．

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